Soit une fonction f(x) définie sur D un intervalle de R. On dit que f(x) tend vers une limite l quand x tend vers x₀ Î D, si :

Un fluide s’écoule de gauche à droite, on voudrait que la pression y dans la partie étranglée soit toujours comprise dans l’encadrement

Il faut donc que la pression dans la première partie soit elle aussi comprise dans un certain encadrement

x₀ - a < x < x₀ + a , ce qui est équivalent à

| x - x₀ | < a .

Le problème revient donc à la recherche d’un a en fonction d’un e donné.

Montrer que .

On cherche a tel que | x- 3 | < a Þ | | < e

| | = <

de sorte que si | x- 3 | < 2.e alors | | < e.

Il suffit de prendre a = 2.e .

De même:

On dit que f(x) tend vers +¥ quand x tend vers x₀ , si:

" A > 0 $ a > 0 " x ¹ x₀ tel que | x- x₀ | < a alors f(x) > A.

On dit que f(x) tend vers -¥ quand x tend vers x₀ , si:

" A > 0 $ a > 0 " x ¹ x₀ tel que | x- x₀ | < a alors f(x) < -A.

Exemple: Soit la fonction f (x) = définie sur R^*.

Si x>0 alors f (x) = x - 2 et la limite de f(x) quand x tend vers 0 vaut (-2).

Si x<0 alors f (x) = -x + 2 et la limite de f(x) quand x tend vers 0 vaut (+2).

• On dit que la fonction f admet une limite en x₀ si .

se lit " limite à gauche en x₀ ", se lit " limite à droite en x₀ ".

La recherche des limites est facilitée par les théorèmes suivants:

• La limite d’une somme de fonctions est égale à la somme des limites de ces fonctions.

• La limite d’un produit de fonctions est égale au produit des limites de ces fonctions.

• La limite d’un quotient de fonctions est égale au quotient des limites de ces fonctions, sous réserve que la limite du dénominateur ne soit pas nulle.

Exemple: ?

• La limite d’un polynôme en ¥ est la limite de son terme de plus haut degré.

• La limite d’une fonction rationnelle en ¥ est la limite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

Exemple: Calculer .

= = .

Dans certains cas, les théorèmes précédents, relatifs à la limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient ou autre ne permettent pas de conclure; l’expression considérée se présente alors sous une forme dite " forme indéterminée ". Ces formes sont:

" ¥ - ¥ " , " 0 ´ ¥ " , " ¥ / ¥ " , " 0 / 0 " . Nous verrons dans les chapitres suivants qu’il existe d’autres formes indéterminées comme: " 1¥ " , " 0⁰ "  et "  ¥ ⁰ " .

On dit qu’on a levé l’indétermination lorsque l’on a trouvé la limite.

Une fonction f(x), définie au voisinage de x₀ , est dite continue en x₀ si ou encore " e > 0 $ n > 0 | x- x₀ | < n Þ | f(x) - l | < e .

Soit [a , b] un segment sur lequel la fonction f est définie.

Elle sera continue sur [a , b] si:

- Elle est continue en tout point de l’ouvert ] a , b [.

- Elle est continue à droite de a et continue à gauche de b.

• Toute fonction continue sur [a , b] est bornée c’est à dire

m est la borne inférieure est notée m = .

M est la borne inférieure est notée M = .

• Toute fonction continue sur [ a , b ] prend au moins toute valeur mm comprise entre m et M.

Une fonction ne peut changer de signe qu’en s’annulant ou en cessant d’être continue et si f(a) et f(b) sont de signes contraires, l’équation f(x)= 0 admet au moins une solution dans [ a , b].

Ce résultat est utilisé pour résoudre numériquement une équation.

• Une fonction f est continue par morceaux sur un intervalle D si elle admet en chaque point de D une limite à gauche et une limite à droite.

Nous admettrons sans démonstration les théorèmes suivants:

• Si f et g sont des fonctions continues, alors f + g est une fonction continue.
• Si f est continue en x₀, l f est continue en x₀, l Î R.
• Si f et g sont continue en x₀, f´ g est continue en x₀, ainsi que f/g si g(x₀).
• Si f est continue en x₀ et positive au voisinage de x₀ , est continue en x ₀.
• Si f est continue en x₀ et g en y₀ = f(x₀) la fonction composée h = g o f est continue en x₀.